INTEGRACIÓN POR PARTES

Generalmente, éste método se aplica, cuando la función subintegral es producto de funciones de distinto tipo; como puede ser: polinómica por exponencial, trigonométrica por exponencial, etc.

La fórmula a emplear es:

haciendo la elección de  u(x)  y de v(x)  en la integral dada.

En la mayoría de los casos puede considerarse que la elección está bien hecha,

siempre que la integral

sea más sencilla o del mismo tipo

la integral dada. 

Ejercicios Resueltos Integración Partes

  INTEGRACIÓN de FUNCIONES RACIONALES

Tipos de integrales racionales:

Para la resolución de esta integral, se trata de obtener en el numerador la derivada del numerador. Para ello,

con lo cual: 

resulta: 

Por una parte,  la integral <1º> es inmediata al ser C(x) un polinomio de grado uno en x

Por otro lado, la integral <2º> se obtiene por descomposición en fracciones simples. Para lo cual, se hallan las raíces de Q(x) = 0 y se expresa Q(x) como producto de sus raíces.

Supongamos que Q(x) = 0 tiene las raíces: { x = p con multiplicidad r }, { x = q con multiplicidad s }, las raíces complejas { x = (a ± bi) con multiplicidad n }.

Entonces Q(x) puede expresarse de la forma:

Adviértase que k º coeficiente del término de mayor grado de Q(x). De otra parte, las raíces complejas conjugadas [ x - (a ± bi) ] se pueden sustituir por un polinomio de segundo grado, de la forma siguiente:

El desarrollo en fracciones simples de R(x) / Q(x) es:

Siendo A_i, B_i, C_i, D_i coeficientes a determinar. Para ello, basta multiplicar ambos miembros de la igualdad por Q(x) e identificar coeficientes de términos del mismo grado. O en su defecto, dar a la variable x valores adecuados. 

Obtenido el desarrollo en fracciones simples, se integra éste, dando lugar a una suma de integrales que son de los siguientes tipos:
 

<1> Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 1, elevado a una potencia. Son integrales inmediatas.

<2> Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2. Son integrales del tipo <a> ó <b> resueltas anteriormente.

<3> Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2, elevado a una potencia ( >1 ). Estas integrales se resuelven por reducción. Este tipo de integrales, cuando el exponente es superior a 2, presentan gran dificultad, es aconsejable aplicar el método de "Hermite".

  MÉTODO de HERMITE

Consiste en hacer el siguiente desarrollo:

siendo, k º grado del denominador del corchete menos la unidad

Para calcular los coeficientes 'A, B, C, D, a_i' basta derivar la expresión que está dentro del corchete, multiplicar ambos miembros por Q(x) e identificar coeficientes de términos del mismo grado.

Ejercicios Resueltos Integración Método de Hermite

  INTEGRACIÓN de FUNCIONES IRRACIONALES

Son aquellas en las que la variable x o funciones de la variable 'x' aparecen elevadas a exponentes fraccionarios.

INTEGRALES IRRACIONALES SIMPLES

Integrales del tipo:

Con el cambio se transforma en una función racional de t 

INTEGRALES IRRACIONALES LINEALES 

Integrales tipo:

La función subintegral se transforma en una función racional de t 

INTEGRALES IRRACIONALES BINOMIAS 

Integrales tipo:

Pueden presentarse los tres casos siguientes:

El paréntesis se desarrolla por el binomio de Newton.

INTEGRALES IRRACIONALES TIPO 

Existen tres cambios que la transforman en una integral racional:

Casos particulares de estas integrales son: 

<A>

En cuyo caso, se plantea la igualdad:

en donde

Para calcular estas constantes, se deriva a ambos miembros de la igualdad y una vez multiplicados por  , se identifican coeficientes de términos del mismo grado.

<B>

<C>

Multiplicando y dividiendo por es una integral tipo A

INTEGRACIÓN de FUNCIONES IRRACIONALES PARTICULARES

Existen dos tipos particulares de integrales irracionales: 

<1>

Según los signos de 'a', 'b', '- 4ac', se obtendrá "arc sen", "Arg Sh" , "Arg Ch"

<2>

En el primer paso de la resolución se trata de obtener en el numerador la derivada de la función subintegral. Para ello: 

Ejercicios Resueltos Integración Funciones Irracionales

  INTEGRACIÓN de FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Obsérvese que: 

Transformándose la función subintegral en una función racional de 't'

Casos particulares:

Función subintegral impar en senx

Se efectúa el cambio { cosx = t }

Función subintegral impar en cosx

Se efectúa el cambio { senx = t }

Función subintegral par en senx y cosx

Ejercicios Resueltos Integración Funciones Trigonométricas

  INTEGRACIÓN de FUNCIONES HIPERBOLICAS

Hacemos el cambio: 

Casos particulares:
 

Función subintegral impar en Shx

Función subintegral impar en Chx

Función subintegral par en Shx y Chx

Los cambios expuestos son también válidos para funciones hiperbólicas no racionales. 

Ejercicios Resueltos Integración Funciones Hiperbólicas

  FUNCIÓN G (p). INTEGRAL EULERIANA de 2ª ESPECIE

La función G (p) se define como:

Es una integral impropia, convergente para todo p > 0. El campo de definición de la función G (p), se puede ampliar para p < 0, mediante la fórmula de Gauss:

Ejercicios Resueltos Integración Función Gamma

  FUNCIÓN b (p, q). INTEGRAL EULERIANA de 1ª ESPECIE

Es una integral impropia convergente " p, q > 0. La función b (p, q) se define como:

Otras formas en que se puede presentar b (p, q), son:

Haciendo el cambio

   la función b (p, q) es:

Ejercicios Resueltos Integración Función Beta

  DERIVACIÓN de una INTEGRAL PARAMÉTRICA

Sea f(x, a ) una función de las variables independientes x y a . Se

denomina integral paramétrica, respecto al parámetro a , a la integral

Si f(x, a ) admite derivada, verificándose que:

Su derivada vale:

Ejercicios Resueltos Integrales Paramétricas

Caso General

Más general que el caso anterior es cuando los límites de integración son también funciones de a. Es decir: 

 Si f(x, a ) admite derivada, verificándose que:

Entonces la derivada vale:

Ejercicios Resueltos Integrales Paramétricas

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